\section{M\'etodos}

% formulaciones matematicas, detalles algoritmos y descripcion de datos
%para cada algoritmo 
%- descripcion
%- formula
%- dificultades algoritmicas

\subsection{Transformaciones}

Las transformaciones son mapeos entre dos conjuntos, no necesariamente
distintos. 
Existen ciertos tipos de transformaciones que poseen propiedades 
interesantes, preservando caracter\'isticas .

\vspace*{0.3cm}

En este trabajo pr\'actico las transformaciones se refieren a las
que se dan entre las im\'agenes, que son representadas como matrices
num\'ericas.

\vspace*{0.3cm}

Las transformaciones pueden ser representadas mediante matrices.

\vspace*{0.3cm}

Para las im\'agenes m\'edicas, estas transformaciones son del espacio
3D a 3D.

Las trasformaciones afines y r\'igidas pueden ser representadas usando
matrices homog\'eneas. Estas son matrices de 4x4 para dichas
transformaciones de los espacios de 3D a 3D.


\subsubsection{Transformaciones R\'igidas}

%Las transformaciones lineales preservan la operaci\'on de suma 
%vectorial, y la multiplicaci\'on por un escalar.

%Las transformaciones lineales incluyen las rotaciones, escalamientos,
%reflexiones.
%En este trabajo pr\'actico interesan las rotaciones, y los 
%escalamientos anisotr\'opicos (shears).

Las transformaciones que preservan la distancia entre todos los puntos
de la imagen se denominan r\'igidas.
Son equivalentes a realizar un cambio de coordenadas.
Incluyen rotaciones y traslaciones.


%\vspace*{0.3cm}

%Matr\'iz de rotaci\'on

\subsubsection{Transformaciones Afines}

Son transformaciones que permiten 

Transformations that allow for a
global change of scale and shear are referred to as affine trans-
formations. Affine transformations map parallel lines to par-
allel lines. 

\subsection{Registracion}

La registraci\'on es un componente muy importante en el ana\'alisis de
im\'agenes m\'edicas.

\vspace*{0.3cm}

Es el proceso de determinar la correspondencia entre los objetos de
dos im\'agenes, por convenci\'on, esto es entre una imagen fuente y
una objetivo.
Para determinar dicha correspondencia, es necesario encontrar la
transformaci\'on que fue aplicada a la imagen fuente para que est\'e
alineada con la objetivo.

\vspace*{0.3cm}

La implementaci\'on se hace minimizando la energ\'ia (suma de la
similaridad y la regularidad), mediante alg\'un m\'etodo de 
minimizaci\'on, como puede ser cuadrados m\'inimos.

Se buscan los par\'ametros para las transformaciones mejor lleven a 
una alineaci\'on de las dos im\'agenes.

Seg\'un la transformaci\'on, la cantidad de par\'ametros a determinar
va variando.

\vspace*{0.3cm}

Una estrategia es ir acerc\'andose a la transformaci\'on de a poco, 
probando primero solamente con una traslaci\'on buscando el 
par\'ametro que mejor ajusta, siguiendo luego con otras
transformaciones.

De esta manera, se pretende evitar el problema de los m\'inimos
locales, adem\'as de facilitar la b\'usqueda de los par\'ametros.
Buscarlos todos a la vez sin restricciones ser\'ia m\'as complicado.

%\subsection{Datos utilizados}
%
%Inicialmente se carga como dato las im\'agenes 3d de cerebros
%provistas, y se trabaja con cortes 2d, en particular con
%el que tiene la tercera coordenada z igual a 50.
%
%\vspace*{0.3cm}
%
%Los algoritmos tambi\'en reciben este valor z como par\'ametros para
%acelerar el procesamiento, siempre se termina trabajando en 2d.
